الرسم البياني لجمع المتجهين: R⃗ = A⃗ + B⃗
طريقة الرأس بالذيل (Head-to-Tail)
خصائص المتجهين وطريقة الجمع
المتجه A:
30.0 N ∠ 0.0°
المتجه B:
40.0 N ∠ 90.0°
المتجه المحصل (R⃗ = A⃗ + B⃗):
50.0 N
زاوية اتجاه المحصلة (θ_R):
53.1° مع محور +X
قواعد جمع المتجهات في بعدين:
• طريقة الرأس بالذيل: ننقل ذيل المتجه الثاني إلى رأس المتجه الأول، وتكون المحصلة $\vec{R}$ هي السهم الواصل من ذيل الأول إلى رأس الثاني.
• إذا كانت الزاوية قائمة ($\theta = 90^\circ$): نطبق نظرية فيثاغورس مباشرة: $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
• إذا كانت الزاوية غير قائمة: نطبق قانون جيب التمام: $R^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta$.
• طريقة الرأس بالذيل: ننقل ذيل المتجه الثاني إلى رأس المتجه الأول، وتكون المحصلة $\vec{R}$ هي السهم الواصل من ذيل الأول إلى رأس الثاني.
• إذا كانت الزاوية قائمة ($\theta = 90^\circ$): نطبق نظرية فيثاغورس مباشرة: $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.
• إذا كانت الزاوية غير قائمة: نطبق قانون جيب التمام: $R^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta$.
تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين في الأرباع الأربعة
الربع الأول (I): المركبتان موجبتان
المتجه والزاوية في المحاور الديكارتية
المركبة الأفقية (Ax = A · cos θ):
+28.28 N
المركبة الرأسية (Ay = A · sin θ):
+28.28 N
التحقق من المقدار (√(Ax² + Ay²)):
40.00 N (مطابق تماماً)
موقع المتجه:
الربع الأول (0° إلى 90°)
القاعدة الذهبية لتحليل المتجهات:
• المركبة المجاورة للزاوية: تأخذ جيب التمام ($A_x = A \cos\theta$).
• المركبة المقابلة للزاوية: تأخذ الجيب ($A_y = A \sin\theta$).
• إشارة المركبات تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه وفق إشارات محوري $X$ و $Y$.
• المركبة المجاورة للزاوية: تأخذ جيب التمام ($A_x = A \cos\theta$).
• المركبة المقابلة للزاوية: تأخذ الجيب ($A_y = A \sin\theta$).
• إشارة المركبات تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه وفق إشارات محوري $X$ و $Y$.
الجمع الجبري: تحليل كل متجه لمركباته ثم جمع المركبات Rx = ΣAx و Ry = ΣAy
Rx = ΣAx | Ry = ΣAy
جدول المركبات والحل الرياضي النموذجي
مقدار المحصلة الكلي:
50.0 N
اتجاه زاوية المحصلة:
θ = 73.2° مع +X
خطوات جمع المتجهات بطريقة المركبات (طريقة عامة لأي عدد من المتجهات):
1. حلل كل متجه إلى مركبتيه: $A_x = A\cos\theta_A$ و $A_y = A\sin\theta_A$.
2. اجمع المركبات الأفقية معاً: $R_x = A_x + B_x$.
3. اجمع المركبات الرأسية معاً: $R_y = A_y + B_y$.
4. احسب مقدار المحصلة بفيثاغورس: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
5. حدد الزاوية: $\theta = \tan^{-1}\left|\frac{R_y}{R_x}\right|$ مع مراعاة الربع.
1. حلل كل متجه إلى مركبتيه: $A_x = A\cos\theta_A$ و $A_y = A\sin\theta_A$.
2. اجمع المركبات الأفقية معاً: $R_x = A_x + B_x$.
3. اجمع المركبات الرأسية معاً: $R_y = A_y + B_y$.
4. احسب مقدار المحصلة بفيثاغورس: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
5. حدد الزاوية: $\theta = \tan^{-1}\left|\frac{R_y}{R_x}\right|$ مع مراعاة الربع.