"مدارات الكواكب إهليلجية (قطع ناقص)، وتكون الشمس في إحدى البؤرتين."
اكتشف يوهانس كبلر بعد دراسته الدقيقة لبيانات رصد الكواكب أن مدار أي كوكب ليس دائرة منتظمة، بل قطع ناقص (شكل بيضاوي) يتميز بوجود بؤرتين: تقع الشمس في إحدى هاتين البؤرتين، بينما البؤرة المقابلة فارغة تماماً ومركز المدار فارغ. وبسبب هذا الشكل الإهليلجي، فإن المسافة بين الكوكب والشمس تتغير باستمرار خلال دورته؛ فيقترب منها تارة ويبتعد عنها تارة أخرى.
شكل المدار في كتاب فيزياء 2:قطع ناقص (إهليلجي) له بؤرتان
موقع الشمس:في إحدى البؤرتين (F₁) — والبؤرة المقابلة فارغة
متوسط بعد الكوكب عن الشمس:نصف المحور الأكبر (a)
المفاهيم الأساسية المقررة:المدار الإهليلجي: شكل بيضاوي محدد ببؤرتينالبؤرة الأولى F₁: تحتلها الشمسالبؤرة الثانية F₂: نقطة فراغ في الفضاءتغير المسافة: الكوكب يقترب ويبتعد عن الشمس باستمرار
محاكاة المدار الإهليلجي وموقع الشمس والبؤرتين
يمكنك سحب الكوكب على مداره بيدك
المحور الأكبر للمدار (2a):2.00 AU
متوسط البعد عن الشمس (a):1.00 AU
أقرب مسافة للشمس:0.80 AU
أبعد مسافة عن الشمس:1.20 AU
المسافة اللحظية الحالية (r):1.00 AU
متوسط البعد عن الشمس (a)
1.00 AU
شكل المدار (تفلطح المدار)
0.20
أقرب مسافة للكوكب عن الشمس
0.80 AU
أبعد مسافة للكوكب عن الشمس
1.20 AU
عناصر التحكم في المدار
متوسط البعد عن الشمس (نصف المحور الأكبر a):1.0 AU
درجة تفلطح المدار الإهليلجي (e):0.20
عند القيمة 0 يصبح المدار دائرياً تماماً وتنطبق البؤرتان بالمركز — وكلما زادت القيمة زاد تفلطح المدار وتباعدت البؤرتان.
نماذج أجرام سماوية حقيقية:
🌍 الأرض
e = 0.017 (شبه دائرية)
🔴 المريخ
e = 0.093 (مدار كبلر)
🪐 عطارد
e = 0.206 (أعلى الكواكب)
☄️ مذنب بيضاوي
e = 0.750 (شديد الاستطالة)
⚪ دائرة تامة
e = 0.000 (حالة خاصة)
💡 ملاحظة علمية هامة:
كلما زادت قيمة الاختلاف المركزي $e$، زاد الفرق بين أقرب مسافة للكوكب عن الشمس وأبعد مسافة عنها. وتعتبر الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص يكون فيها الاختلاف المركزي مساوياً للصفر ($e = 0$).
نص قانون كبلر الثاني (قانون المساحات المتساوية — فيزياء 2)
"الخط الوهمي الواصل بين الشمس والكوكب يمسح مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية."
الاستنتاج المدرسي الأساسي (المقرر): الكوكب لا يتحرك بسرعة ثابتة في مداره، بل تزداد سرعته كلما اقترب من الشمس ويبلغ أقصى سرعة له عندما يكون في أقرب نقطة للشمس، بينما تقل سرعته كلما ابتعد عن الشمس ويبلغ أقل سرعة له عندما يكون في أبعد نقطة عن الشمس.
مقارنة السرعة المدارية:vأقرب للشمس > vأبعد عن الشمس (أسرع عند القرب وأبطأ عند البعد)
علاقة السرعة بالمسافة (حفظ الزخم):v₁ · r₁ = v₂ · r₂ = ثابت
دلالات الرموز المعتمدة بالمنهج:A: المساحة التي يمسحها المتجه الواصل من الشمس إلى الكوكبvأقرب: أقصى سرعة للكوكب (عندما يكون في أقرب نقطة للشمس vmax)vأبعد: أقل سرعة للكوكب (عندما يكون في أبعد نقطة عن الشمس vmin)r: المسافة اللحظية بين الكوكب ومركز الشمس
محاكاة المساحات المتساوية ومتجه السرعة المدارية
الموقع الحالي:قريب من الشمس (أقصى سرعة)
المسافة الحالية (r):0.72 AU
السرعة اللحظية (v):38.4 km/s
أقصى سرعة (أقرب نقطة للشمس):42.1 km/s
أقل سرعة (أبعد نقطة عن الشمس):22.3 km/s
المساحات الممسوحة:A₁ = A₂ (متساوية تماماً)
السرعة اللحظية للكوكب
38.4 km/s
المسافة الحالية عن الشمس
0.72 AU
مساحة القطاع 1 (بالقرب من الشمس)
0.150 AU²
مساحة القطاع 2 (بعيداً عن الشمس)
0.150 AU²
إعدادات محاكاة كبلر الثاني
الاختلاف المركزي للمدار (e):0.50
زيادة الاختلاف المركزي تجعل تفاوت سرعة الكوكب بين قربه وبعده عن الشمس واضحاً جداً للطلاب!
سرعة المحاكاة الزمنية:1.0x
الفترة الزمنية للقطاع (Δt):30 يوم
لماذا المساحات متساوية؟ (تفسير فيزياء 2)
عندما يكون الكوكب قريباً من الشمس: تكون المسافة $r$ صغيرة، فيعوضها الكوكب بحركة سريعة جداً ويقطع قوساً كبيراً خلال نفس الفترة الزمنية $\Delta t$.
وعندما يبتعد عن الشمس: تكون المسافة $r$ كبيرة جداً، فيتحرك ببطء شديد ويقطع قوساً صغيراً، لتكون المساحة الممسوحة في الحالتين متساوية تماماً ($A_1 = A_2$)!
نص قانون كبلر الثالث (قانون التوافق والنسب — Law of Harmonies)
"مربع النسبة بين زمنين دوريين لكوكبين حول الشمس يساوي مكعب النسبة بين متوسطي بعديهما عن الشمس."
نشر كبلر هذا القانون العبقري عام 1619 بعد 10 سنوات من القانونين الأولين. وإذا قيست الأزمنة بالسنوات الأرضية ($yr$) والمسافات بالوحدات الفلكية ($AU$)، تصبح النسبة دائماً مساوية لـ 1.000 لجميع كواكب المجموعة الشمسية بلا استثناء!
قانون كبلر الثالث (صيغة المقارنة بين كوكبين A و B في الكتاب المدرسي):(TA / TB)2 = (rA / rB)3
في المجموعة الشمسية (الوحدات الفلكية AU والسنوات yr):T2 = r3 ⟹ T = √(r3)
دلالات الرموز الفيزيائية:TA, TB: الزمن الدوري لدوران الكوكبين حول الشمس (بالسنوات yr أو بالثواني s)rA, rB: متوسط بعد الكوكبين عن الشمس (نصف المحور الأكبر a بالوحدات الفلكية AU أو الأمتار m)1 AU: الوحدة الفلكية = متوسط بعد الأرض عن الشمس (149.6 مليون كم)
سباق الكواكب حول الشمس (ملاحظة مباشرة لقانون كبلر الثالث)
الزمن الأرضي المنقضي:0.00 سنة
دورات عطارد:0.0 دورة
دورات الأرض:0.0 دورة
دورات المريخ:0.0 دورة
لاحظ كيف يدور عطارد بسرعة فائقة وينهي دورة كل 88 يوماً، بينما يحتاج المريخ لقرابة سنتين أرضيتين، ويحتاج المشتري لـ 12 سنة كاملة!
جدول بيانات كواكب المجموعة الشمسية وتطابق قانون كبلر الثالث
الكوكب
البعد a (AU)
الزمن الدوري T (yr)
a³
T²
النسبة T² / a³
🪐 عطارد (Mercury)
0.387
0.241
0.058
0.058
1.000
🟡 الزهرة (Venus)
0.723
0.615
0.378
0.378
1.000
🌍 الأرض (Earth)
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
🔴 المريخ (Mars)
1.524
1.881
3.540
3.538
0.999
🪐 المشتري (Jupiter)
5.204
11.862
140.9
140.7
0.999
🪐 زحل (Saturn)
9.582
29.457
879.8
867.7
0.986
🔵 أورانوس (Uranus)
19.201
84.011
7079
7058
0.997
🌊 نبتون (Neptune)
30.047
164.79
27127
27156
1.001
حاسبة كبلر التفاعلية (احسب T أو a لأي كوكب)
— أو —
النتيجة وحساب المعادلة:
T = √(r³) = √(1.524³) = 1.88 سنة
يعادل بالتقريب: 687 يوم أرضي
صيغة المقارنة بين كوكبين A و B (الكتاب المدرسي):
(TA / TB)2 = (rA / rB)3
قانون الجذب الكوني لنيوتن وتجربة كافندش (فيزياء 2)
"توجد قوة تجاذب متبادلة بين أي جسمين في الكون، تتناسب طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسياً مع مربع المسافة بين مركزيهما."
استخدم إسحاق نيوتن هذا القانون لتفسير مدارات الكواكب وقوانين كبلر، ثم جاء العالم هنري كافندش عام 1798 ليقيس ثابت الجذب الكوني $G$ عملياً باستخدام ميزان الالتواء ويحسب لأول مرة كتلة كوكب الأرض بدقة مذهلة («وزن الأرض»).
قانون الجذب الكوني لنيوتن (كتاب فيزياء 2):F = G · (m₁ · m₂) / r2
حساب كتلة الأرض من تجربة كافندش:Mالأرض = (g · r2) / G ≈ 5.97 × 1024 kg
دلالات الرموز المعتمدة:F: قوة التجاذب الكتلي المتبادلة (بالنيوتن N)G: ثابت الجذب الكوني (6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²)m₁, m₂: كتلتا الجسمين المتجاذبين (بالكيلوجرام kg)r: المسافة بين مركزي الكتلتين (بالمتر m)
محاكاة قوة الجاذبية المتبادلة بين كتلتين (فعل ورد فعل)
يمكنك سحب الكتل بالفأرة لتغيير المسافة
قوة الجاذبية المتبادلة (F):4.17 × 10⁻¹⁰ N
القوة المؤثرة على m₁ (F₂₁):نحو اليمين
القوة المؤثرة على m₂ (F₁₂):نحو اليسار (متساوية ومعاكسة)
حالة قانون نيوتن الثالث:فعل ورد فعل (قوى متساوية ومتعاكسة)
مقدار قوة التجاذب (F)
4.17 × 10⁻¹⁰ N
المسافة بين المركزين (r)
4.0 m
تسارع الكتلة m₁
4.17 × 10⁻¹² m/s²
تسارع الكتلة m₂
4.17 × 10⁻¹² m/s²
عناصر التحكم وتطبيقات المنهج
الكتلة الأولى (m₁):100 kg
الكتلة الثانية (m₂):100 kg
المسافة بين مركزي الكتلتين (r):4.0 m
تجارب سريعة لقانون التربيع العكسي والتناسب:
قاعدة التربيع العكسي في اختبارات فيزياء 2:
قوة الجاذبية تتناسب عكسياً مع مربع المسافة ($F \propto \frac{1}{r^2}$):
• مضاعفة المسافة مرتين ($2r$) $\implies$ تقل القوة إلى الربع ($\frac{1}{4}F$).
• زيادة المسافة 3 مرات ($3r$) $\implies$ تقل القوة إلى التسع ($\frac{1}{9}F$).
• تقليل المسافة إلى النصف ($\frac{1}{2}r$) $\implies$ تزداد القوة إلى أربعة أضعاف ($4F$).
محاكاة ميزان الالتواء لهنري كافندش لقياس الثابت G
حالة التجربة:الكرات في وضع الحياد (صفر)
زاوية التواء السلك (θ):0.00°
انحراف شعاع الليزر (Δx):0.0 mm
قوة التجاذب المقاسة (F):0.00 × 10⁻⁷ N
ثابت الجذب الكوني المستنتج:G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
كتلة الكرات الكبيرة (M)
158 kg
كتلة الكرات الصغيرة (m)
0.73 kg
قوة التجاذب الناتجة (F)
0.00 N
كتلة الأرض المحسوبة («وزن الأرض»)
5.97 × 10²⁴ kg
إعدادات تجربة كافندش وشرح الجهاز
كتلة الكرتين الكبيرتين (M من الرصاص):158 kg
كتلة الكرتين الصغيرتين (m من الرصاص):0.73 kg
كيف يعمل ميزان الالتواء لهنري كافندش؟
1. سلك الالتواء الرفيع: يحمل قضيباً خفيفاً معلقاً أفقياً عند طرفيه كرتان صغيرتان $m$.
2. تقريب الكرات الكبيرة $M$: قوة التجاذب الكتلي متناهية الصغر تجذب الكرات الصغيرة، مما يؤدي لتدوير القضيب والتواء السلك بزاوية $\theta$.
3. الشعاع الضوئي والمرآة: تسقط حزمة ضوء/ليزر على مرآة مثبتة بالسلك فتنحرف على مسطرة مدرجة بزاوية مضاعفة ($2\theta$)، مما كبّر الحركة وسمح لكافندش بقياس القوة الضئيلة بدقة فائقة!
4. عكس الكرات: عكس كافندش موضع الكرات الكبيرة للجهة الأخرى لقياس الانحراف المزدوج وإلغاء أي خطأ صفري في الجهاز.
لماذا سُميت التجربة بـ «وزن الأرض»؟
قبل كافندش، كانت كتلة الأرض مجهولة تماماً. وبمجرد قياس الثابت $G$ ومعرفة تسارع الجاذبية الأرضية ($g = 9.8\text{ m/s}^2$) ونصف قطر الأرض ($r = 6.38 \times 10^6\text{ m}$)، تم التعويض في قانون الجاذبية:
M_Earth = (g · r²) / G = 5.97 × 10²⁴ kg
فحسب كافندش كتلة الأرض بدقة لأول مرة في تاريخ البشرية!
مدفع نيوتن وسرعة الأقمار الاصطناعية وسرعة الإفلات
تجربة نيوتن الفكرية: تخيل نيوتن مدفعاً عملاقاً موضوعاً فوق قمة جبل شاهق خارج الغلاف الجوي يطلق قذائف أفقياً بسرعات متزايدة:
السرعة المدارية للأقمار الاصطناعية (مدار دائري):v = √(G·M / r) (≈ 7.9 km/s عند سطح الأرض)
سرعة الإفلات من جاذبية الأرض (Escape Velocity):vإفلات = √(2·G·M / r) = √2 · v ≈ 11.2 km/s
الزمن الدوري لمدار القمر الاصطناعي:T = 2π · √(r3 / (G·M))
دلالات الرموز الفيزيائية:v: السرعة المدارية للقمر (لا تعتمد نهائياً على كتلة القمر الاصطناعي m)vإفلات: أقل سرعة انطلاق تفلت بها المركبة من مجال جاذبية الكوكبM: كتلة الجرم المركزي المتبوع (كتلة الأرض = 5.97 × 10²⁴ kg)r: نصف قطر المدار المقاس من مركز الأرض (r = rالأرض + الارتفاع h)
القمر الاصطناعي في حالة سقوط حر دائم نحو الأرض!
ولكن سرعته الأفقية العالية ($v \approx 7.9 \text{ km/s} = 28,000 \text{ km/h}$) تجعل سطح الأرض ينحني تحته بنفس معدل سقوطه، فلا يصطدم بها أبداً، ويشعر رواد الفضاء بانعدام الوزن الظاهري لأنهم يسقطون سقوطاً حراً مع مركبتهم!
الدليل المبسط لطلاب الصف الثاني ثانوي — فيزياء 2
ملخص شامل لجميع مفاهيم الفصل: مقارنة دقيقة، القوانين الرياضية، والمفاهيم الخاطئة الشائعة التي تتكرر في اختبارات التحصيلي.
مقارنة فيزياء 2 الأساسية: عندما يكون الكوكب في أقرب نقطة للشمس مقابل أبعد نقطة عنها
وجه المقارنة
أقرب نقطة للشمس (أقصى سرعة)
أبعد نقطة عن الشمس (أقل سرعة)
الموقع والتعريف
أقرب مسافة يمر بها الكوكب بجوار الشمس
أبعد مسافة يصل إليها الكوكب عن الشمس
المسافة اللحظية r
rأقرب = a(1 - e) (أقل مسافة عن الشمس)
rأبعد = a(1 + e) (أكبر مسافة عن الشمس)
السرعة المدارية v
أقصى سرعة vmax (سريع جداً)
أقل سرعة vmin (بطيء جداً)
قوة التجاذب الجذبي F
أكبر قوة جاذبية من الشمس (F ∝ 1/r²)
أضعف قوة جاذبية من الشمس
الطاقة الحركية (KE)
أعلى ما يمكن (KEmax) نظراً لزيادة السرعة
أقل ما يمكن (KEmin) نظراً لتباطؤ الحركة
طاقة الوضع الجاذبية (PE)
أقل ما يمكن (PEmin) لقصر المسافة عن المركز
أعلى ما يمكن (PEmax) لكبر المسافة عن المركز
الطاقة الميكانيكية الكلية (E)
Eميكانيكية = KE + PE = ثابت
— ثابتة ومحفوظة في جميع نقاط المدار الإهليلجي
مفهوم خاطئ 1: "الفصول الأربعة سببها قرب الأرض وبعدها عن الشمس"
التصحيح العلمي: مدار الأرض شبه دائري تقريباً ($e = 0.017$). والسبب الحقيقي الوحيد للفصول الأربعة هو ميلان محور دوران الأرض بزاوية $23.5^\circ$ أثناء دورانها حول الشمس. والدليل: تكون الأرض في أقرب نقطة لها من الشمس في شهر يناير خلال فصل الشتاء في النصف الشمالي للكرة الأرضية!
مفهوم خاطئ 2: "الشمس تقع في مركز المدار الإهليلجي"
التصحيح العلمي: الشمس لا تقع في المركز مطلقاً، بل تقع في إحدى البؤرتين (Focus) للقطع الناقص، بينما البؤرة المقابلة خالية تماماً، ومركز القطع الناقص فارغ أيضاً.
مفهوم خاطئ 3: "رواد الفضاء ينعدم وزنهم لأن الجاذبية في الفضاء صفر"
التصحيح العلمي: الجاذبية الأرضية عند مدار المحطة الفضائية الدولية (ارتفاع 400 كم) تعادل حوالي $89\%$ من قيمتها على سطح الأرض! ينعدم وزن الرواد لأنهم في حالة سقوط حر مستمر مع مركبتهم نحو الأرض دون ملامسة سطح داعم (انعدام الوزن الظاهري).
قاعدة ذهبية: كتلة الكوكب لا تؤثر في سرعته أو زمنه الدوري
السرعة المدارية للقمر الاصطناعي أو الكوكب هي:
v = √(G·M / r) لاحظ أن الكتلة في القانون هي $M$ كتلة الجرم المركزي (الشمس أو الأرض)، بينما كتلة الكوكب أو القمر الصغير $m$ تختصر وتلغى تماماً! فقمر اصطناعي كتلته 10 كجم يدور بنفس سرعة قمر كتلته 1000 كجم إذا كانا على نفس الارتفاع.
اختبر معلوماتك — تدريبات تحصيلية ومدرسية تفاعلية
8 أسئلة نموذجية تغطي جميع جوانب قوانين كبلر والجاذبية مع تصحيح فوري وشرح تفصيلي للحل.
1
مدارات الكواكب حول الشمس إهليلجية وتكون الشمس في إحدى البؤرتين، هذا نص:
2
وفقاً لقانون كبلر الثاني، يتحرك الكوكب بأقصى سرعة مدارية له عندما يكون:
3
إذا تضاعفت المسافة بين جسمين إلى مثلَيْ ما كانت عليه (2r)، فإن قوة الجاذبية بينهما:
4
العالم الذي تمكن من قياس ثابت الجذب الكوني G وحساب كتلة الأرض باستخدام ميزان الالتواء هو:
5
كوكب يبعد عن الشمس مسافة متوسطة قدرها 4 AU، كم يبلغ زمنه الدوري بالسنوات الأرضية T وفق كبلر الثالث؟
6
أي الكميات الفيزيائية التالية تظل ثابتة ومحفوظة لكوكب أثناء حركته في مداره الإهليلجي؟
7
قمر اصطناعي A كتلته 500 kg وقمر اصطناعي B كتلته 2000 kg يدوران في نفس المدار الدائري حول الأرض. النسبة بين سرعتيهما المداريتين (vA / vB) تساوي:
8
العلاقة الرياضية الصحيحة لسرعة الإفلات (vإفلات) مقارنة بالسرعة المدارية للقمر (v) عند نفس الارتفاع هي: